Теорема Коши — Ковалевской

Теорема Коши — Ковалевской — теорема о существовании и единственности локального решения задачи Коши для дифференциального уравнения в частных производных. Теорема Ковалевской является одной из основных и наиболее часто используемых теорем в теории уравнений с частными производными: теорема Хольмгрена о единственности решения задачи Коши, теоремы существования решения задачи Коши для гиперболических уравнений, теория разрешимости линейных уравнений используют теорему Ковалевской.

Формулировка

Рассмотрим пространство [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^{n+1} }[/math]. Точку пространства [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^{n+1} }[/math] будем обозначать через [math]\displaystyle{ (x, t) = (x_{1},..., x_{n}, t) }[/math], а точку, принадлежащую [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^n }[/math], через [math]\displaystyle{ x = (x_{1},..., x_{n}) }[/math]. Обозначим оператор частного дифференцирования

[math]\displaystyle{ L \equiv \left ( \frac{d}{dt} \right )^{m} + \sum_{|\nu|+j \leqslant m, j \leqslant m - 1} a_{\nu, j}(x, t) \left ( \frac{d}{dx} \right )^{\nu} \left ( \frac{d}{dt} \right )^{j}. }[/math]

Предположим, что коэффициенты оператора [math]\displaystyle{ L }[/math] определены в окрестности [math]\displaystyle{ U }[/math] начала координат в пространстве переменных [math]\displaystyle{ (x, t) }[/math] и являются аналитическими функциями. Пусть функция [math]\displaystyle{ f }[/math] также аналитична в [math]\displaystyle{ U }[/math]. Пусть вектор [math]\displaystyle{ \Psi }[/math] начальных данных является аналитическим в некоторой окрестности начала координат [math]\displaystyle{ x }[/math] — пространства. Тогда существуют окрестность [math]\displaystyle{ W }[/math] начала координат и единственная аналитическая функция [math]\displaystyle{ u(x,t) }[/math], определённая в [math]\displaystyle{ W }[/math], для которой

[math]\displaystyle{ Lu=f, (x,t) \mathcal {2} W, \left ( \frac{d}{dt} \right )^j u(x, 0)=u_j(x), x \mathcal {2} W \cap \mathcal {f} t=0 \mathcal {g} \qquad (j=0, 1, 2,..., m-1).\qquad (1) }[/math]

Доказательство

Положим

[math]\displaystyle{ \tilde{u}(x,t)=u(x,t)-\sum_{j=0}^{m-1}\frac{t^j}{j!}u_j(x). }[/math]

Тогда из [math]\displaystyle{ (1) }[/math] вытекает, что

[math]\displaystyle{ L[\tilde{u}] = f - \sum_{j=0}^{m-1} L\left[ \frac{t^j}{j!} u_{j}(x) \right]. }[/math]

Поэтому, не теряя общности, можно предположить, что начальные данные для [math]\displaystyle{ u(x, t) }[/math] равны нулю. Перепишем [math]\displaystyle{ (1) }[/math] в виде

[math]\displaystyle{ \left ( \frac{d}{dt} \right )^m u(x,t)= \sum_{j=0}^{m-1} \alpha_j (x, t; \frac{d}{dx})\left (\frac{d}{dt} \right )^j u(x,t)+f(x,t), \qquad (2) }[/math]

где [math]\displaystyle{ {\alpha}_{j}(x, t; {\xi}) }[/math] — полином по [math]\displaystyle{ \xi }[/math] степени [math]\displaystyle{ m-j }[/math], коэффициенты которого аналитичны в окрестности [math]\displaystyle{ U }[/math] начала координат. Легко видеть, что коэффициенты [math]\displaystyle{ c_{\nu,j} }[/math] разложения в ряд Тейлора

[math]\displaystyle{ u(x,t)=\sum_{j \geqslant m; \nu} c_{\nu, j}x^{\nu}t^j \qquad (3) }[/math]

определяются однозначно уравнением [math]\displaystyle{ (2) }[/math] и начальными условиями. Дальше доказывается сходимость ряда [math]\displaystyle{ (3) }[/math].

Для доказательства сходимости ряда [math]\displaystyle{ (3) }[/math] используются мажорантные ряды и полиномы. Функция [math]\displaystyle{ F(x,t) }[/math] называется мажорантным рядом для [math]\displaystyle{ f(x,t) }[/math] в начале координат, если она является аналитической в этой точке и коэффициенты [math]\displaystyle{ C_{\mu, j} }[/math] её разложения в ряд Тейлора больше или равны абсолютным значениям соответствующих коэффициентов [math]\displaystyle{ c_{\mu, j} }[/math] разложения функции [math]\displaystyle{ f(x,t) }[/math] в ряд Тейлора, то есть [math]\displaystyle{ C_{\mu, j} \geqslant | c_{\mu, j} | }[/math].

История

Теорема была представлена С.В. Ковалевской в Геттингенский университет вместе с двумя другими работами в качестве докторской диссертации в 1874 году.

См. также

Литература

C. Мизохата Теория уравнений с частными производными, М., Мир, 1977, 504 стр.
О.А. Олейник Теорема С.В. Ковалевской и современная теория уравнений с частными производными // Соросовский образовательный журнал, 1997, № 8, стр. 117